Rata-Rata Gabungan dalam Penalaran Matematika UTBK: Mengapa Dua Nilai Rata-Rata Tidak Boleh Langsung Dijumlahkan lalu Dibagi Dua

Rata-rata sering tampak sebagai konsep sederhana: jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Namun, soal cerita UTBK dapat menyajikan informasi dalam bentuk rata-rata tiap kelas, kelompok, atau periode. Pada kondisi ini, dua nilai rata-rata tidak boleh langsung dijumlahkan lalu dibagi dua jika jumlah anggota kelompoknya berbeda.

Kunci penyelesaiannya adalah mengenali bobot data. Kelompok yang anggotanya lebih banyak harus memberikan pengaruh lebih besar terhadap rata-rata gabungan.

Pengertian / konsep

Rata-rata gabungan adalah rata-rata dari beberapa kelompok data yang digabungkan menjadi satu. Untuk menghitungnya, kita perlu mengetahui dua hal dari setiap kelompok:

• Banyak anggota kelompok.
• Rata-rata kelompok tersebut.

Rata-rata suatu kelompok dapat diubah kembali menjadi jumlah seluruh nilai kelompok dengan mengalikan banyak anggota dan rata-ratanya.

Jika kelas A berisi 20 siswa dengan rata-rata nilai 70, jumlah nilai seluruh siswa kelas A adalah $20\times 70=1.400$. Jadi, rata-rata 70 bukan sekadar angka yang berdiri sendiri, melainkan mewakili total nilai dari sejumlah anggota tertentu.

Kesalahan umum terjadi ketika seseorang menghitung $(70+80)÷2=75$ tanpa memeriksa jumlah anggota tiap kelompok. Cara tersebut hanya benar jika kedua kelompok memiliki jumlah anggota yang sama.

Rumus atau kerangka langkah

Misalkan terdapat dua kelompok. Kelompok pertama memiliki $n_1$ anggota dengan rata-rata ${\bar{x}}_1$, sedangkan kelompok kedua memiliki $n_2$ anggota dengan rata-rata ${\bar{x}}_2$.

Rumus rata-rata gabungannya adalah

$${\bar{x}}_g=\frac{n_1{\bar{x}}_1+n_2{\bar{x}}_2}{n_1+n_2}$$

Kerangka langkah yang dapat digunakan:

1. Catat banyak anggota dan rata-rata setiap kelompok.
2. Hitung total nilai setiap kelompok dengan mengalikan banyak anggota dan rata-ratanya.
3. Jumlahkan seluruh total nilai.
4. Jumlahkan seluruh anggota.
5. Bagi total nilai dengan total anggota.

Untuk lebih dari dua kelompok, bentuk umumnya adalah

$${\bar{x}}_g=\frac{n_1{\bar{x}}_1+n_2{\bar{x}}_2+\cdots +n_k{\bar{x}}_k}{n_1+n_2+\cdots +n_k}$$

Strategi cepat mengenali kebutuhan bobot:

• Jika soal hanya menyebut dua rata-rata tanpa jumlah anggota, rata-rata biasa mungkin cukup, tetapi periksa konteksnya.
• Jika jumlah anggota, jumlah peserta, banyak transaksi, atau durasi tiap periode berbeda, gunakan bobot.
• Jika ukuran kelompok sama, rata-rata gabungan sama dengan rata-rata dari rata-rata kelompok.
• Jika satu kelompok jauh lebih besar, hasil akhir harus lebih dekat ke rata-rata kelompok yang lebih besar.

Contoh

Contoh 1: Dua kelas dengan jumlah siswa berbeda

Kelas A terdiri atas 24 siswa dengan rata-rata nilai 72. Kelas B terdiri atas 36 siswa dengan rata-rata nilai 80. Berapakah rata-rata nilai seluruh siswa?

Jumlah nilai kelas A:

$$24\times 72=1.728$$

Jumlah nilai kelas B:

$$36\times 80=2.880$$

Maka rata-rata gabungan adalah

$$\frac{1.728+2.880}{24+36}=\frac{4.608}{60}=76,8$$

Jadi, rata-rata seluruh siswa adalah 76,8.

Jika langsung merata-ratakan 72 dan 80, hasilnya $76$. Nilai ini terlalu rendah karena kelas B yang rata-ratanya 80 memiliki lebih banyak siswa.

Contoh 2: Rata-rata penjualan pada dua periode

Sebuah toko mencatat rata-rata 45 transaksi per hari selama 8 hari pertama dan rata-rata 60 transaksi per hari selama 12 hari berikutnya. Berapakah rata-rata transaksi per hari selama 20 hari tersebut?

Total transaksi selama 8 hari pertama:

$$8\times 45=360$$

Total transaksi selama 12 hari berikutnya:

$$12\times 60=720$$

Rata-rata gabungannya:

$$\frac{360+720}{8+12}=\frac{1.080}{20}=54$$

Jadi, rata-rata transaksi per hari selama seluruh periode adalah 54 transaksi.

Perhatikan bahwa angka 60 memiliki bobot lebih besar karena berlaku selama 12 hari, bukan 8 hari.

Latihan singkat

Soal 1

Kelompok belajar X beranggotakan 15 siswa dengan rata-rata skor 68. Kelompok belajar Y beranggotakan 25 siswa dengan rata-rata skor 80. Berapakah rata-rata skor seluruh siswa?

Pembahasan:

Total skor kelompok X adalah $15\times 68=1.020$.

Total skor kelompok Y adalah $25\times 80=2.000$.

Rata-rata gabungan:

$$\frac{1.020+2.000}{15+25}=\frac{3.020}{40}=75,5$$

Jadi, rata-rata skor seluruh siswa adalah 75,5. Rata-rata ini lebih dekat ke 80 karena kelompok Y memiliki anggota lebih banyak.

Soal 2

Sebuah sekolah memiliki 40 siswa kelas pagi dengan rata-rata nilai 74 dan 20 siswa kelas siang dengan rata-rata nilai 86. Seorang siswa menjawab bahwa rata-rata seluruh siswa adalah 80. Apakah jawaban tersebut benar?

Pembahasan:

Jawaban tersebut menggunakan rata-rata sederhana:

$$\frac{74+86}{2}=80$$

Namun, jumlah siswa tiap kelas berbeda sehingga jawaban itu tidak tepat.

Total nilai kelas pagi:

$$40\times 74=2.960$$

Total nilai kelas siang:

$$20\times 86=1.720$$

Rata-rata seluruh siswa:

$$\frac{2.960+1.720}{40+20}=\frac{4.680}{60}=78$$

Jadi, jawaban yang benar adalah 78. Kelas pagi memiliki dua kali jumlah siswa kelas siang, sehingga rata-rata 74 lebih kuat memengaruhi hasil akhir.

Tips ringkas

• Ubah setiap rata-rata kelompok menjadi total nilai dengan mengalikan rata-rata dan jumlah anggota.
• Jangan menghitung rata-rata dari rata-rata jika ukuran kelompok berbeda.
• Tandai kata-kata seperti “terdiri atas”, “sejumlah peserta”, “selama beberapa hari”, atau “pada tiap periode”. Kata-kata tersebut biasanya menunjukkan adanya bobot.
• Periksa kewajaran hasil: rata-rata gabungan harus berada di antara rata-rata kelompok yang digabungkan.
• Hasil akhir harus lebih dekat ke rata-rata kelompok dengan jumlah anggota lebih besar.
• Jika semua kelompok memiliki ukuran sama, rata-rata sederhana dari rata-rata kelompok dapat digunakan.
• Dalam soal UTBK, baca informasi jumlah anggota sebelum memasukkan angka ke rumus.