Persentase Bertingkat dalam Penalaran Matematika UTBK: Mengapa Diskon 20% Lalu 10% Bukan 30%

Pengertian Singkat

Persentase bertingkat adalah perubahan persentase yang terjadi secara berurutan terhadap nilai terbaru. Karena perubahan kedua dihitung dari hasil perubahan pertama, persentasenya tidak selalu dapat dijumlahkan langsung.

Contoh sederhana: harga yang didiskon 20% lalu 10% tidak mengalami diskon 30%. Setelah diskon pertama, dasar perhitungannya sudah berubah.

Hal penting lain adalah membedakan persentase dan poin persentase. Jika tingkat kelulusan naik dari 60% menjadi 75%, kenaikannya adalah 15 poin persentase, tetapi kenaikan relatifnya adalah $\frac{75-60}{60}\times 100\%=25\%$.

Rumus dan Konsep

Jika suatu nilai awal $N$ mengalami perubahan berturut-turut sebesar $p_1$ dan $p_2$, gunakan faktor pengali:

$$N_{akhir}=N(1+p_1)(1+p_2)$$

Untuk kenaikan, $p$ bernilai positif. Untuk penurunan atau diskon, gunakan faktor $1-p$.

Misalnya, kenaikan 20% lalu penurunan 10% menghasilkan:

$$N_{akhir}=N(1+0,20)(1-0,10)=1,08N$$

Jadi, perubahan bersihnya adalah kenaikan 8%, bukan kenaikan 10%.

Untuk dua perubahan umum $a$ dan $b$, perubahan bersih dapat ditulis sebagai:

$$(1+a)(1+b)-1=a+b+ab$$

Jika salah satunya merupakan penurunan, nilainya diberi tanda negatif.

Contoh 1: Diskon Bertingkat

Sebuah jaket berharga Rp500.000 mendapat diskon 20%, kemudian tambahan diskon 10%. Berapa harga akhirnya?

Diskon pertama:

$$500.000\times (1-0,20)=400.000$$

Diskon kedua dihitung dari Rp400.000, bukan dari harga awal:

$$400.000\times (1-0,10)=360.000$$

Harga akhir jaket adalah Rp360.000. Total potongan adalah Rp140.000, sehingga persentase diskon efektifnya:

$$\frac{140.000}{500.000}\times 100\%=28\%$$

Jadi, diskon 20% lalu 10% setara dengan diskon efektif 28%, bukan 30%.

Contoh 2: Pertumbuhan dan Komposisi

Jumlah peserta sebuah kelas bertambah 15% pada bulan pertama dan 20% pada bulan kedua. Jika jumlah awalnya 800 peserta, berapa jumlah akhirnya?

$$800\times 1,15\times 1,20=1.104$$

Jumlah akhir adalah 1.104 peserta. Pertumbuhan totalnya:

$$\frac{1.104-800}{800}\times 100\%=38\%$$

Pertumbuhan total bukan 35% karena kenaikan 20% pada bulan kedua dihitung dari jumlah setelah kenaikan pertama.

Pada soal komposisi, prinsipnya sama. Jika proporsi kelompok A naik dari 40% menjadi 50%, perubahan tersebut adalah 10 poin persentase. Kenaikan relatif terhadap proporsi awal adalah:

$$\frac{50\%-40\%}{40\%}\times 100\%=25\%$$

Latihan dan Pembahasan

Soal 1

Harga sebuah buku Rp80.000. Harga tersebut naik 25%, lalu mendapat potongan 20%. Berapa harga akhirnya?

Pembahasan:

$$80.000\times 1,25\times 0,80=80.000$$

Harga akhirnya tetap Rp80.000. Kenaikan 25% dan penurunan 20% saling meniadakan karena penurunan diterapkan pada nilai yang sudah naik.

Soal 2

Tingkat kehadiran siswa meningkat dari 72% menjadi 81%. Nyatakan perubahan tersebut dalam poin persentase dan persentase relatif.

Pembahasan:

Perubahan dalam poin persentase:

$$81\%-72\%=9$$

Jadi, kenaikannya adalah 9 poin persentase.

Persentase kenaikan relatif:

$$\frac{81-72}{72}\times 100\%=12,5\%$$

Jadi, tingkat kehadiran naik 12,5% secara relatif.

Soal 3

Sebuah produk mengalami kenaikan harga 10% dan kemudian kenaikan lagi 10%. Berapa persentase kenaikan totalnya?

Pembahasan:

Gunakan faktor pengali:

$$(1+0,10)(1+0,10)-1=1,21-1=0,21$$

Kenaikan total adalah 21%, bukan 20%.

Tips Ringkas

• Tentukan nilai dasar setiap perubahan. Tanyakan, “Persentase ini dihitung dari nilai yang mana?”
• Ubah kenaikan $p\%$ menjadi faktor $1+\frac{p}{100}$.
• Ubah penurunan atau diskon $p\%$ menjadi faktor $1-\frac{p}{100}$.
• Kalikan faktor perubahan secara berurutan, jangan langsung menjumlahkan persentasenya.
• Gunakan istilah poin persentase untuk selisih langsung antara dua persentase.
• Saat memeriksa jawaban, ambil nilai awal sederhana seperti 100 untuk menguji apakah logikanya masuk akal.