Permutasi: Konsep Dasar dan Penerapan untuk UTBK

Permutasi adalah materi lanjutan dalam peluang yang sering muncul di Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK), baik di pengetahuan kuantitatif maupun penalaran matematika. Konsep ini menjadi fondasi penting untuk membedakan dengan kombinasi, serta menyelesaikan soal-soal tentang penyusunan elemen dengan urutan tertentu.

Pengertian Permutasi

Permutasi adalah penyusunan elemen dalam suatu urutan tertentu. Inti dari permutasi adalah urutan sangat diperhatikan. Jika urutan berubah, maka hasilnya dianggap berbeda.

Misalnya, elemen $a$, $b$, dan $c$. Susunan $ab$ berbeda dengan $ba$, meskipun elemennya sama. Pada permutasi, keduanya dihitung sebagai dua kejadian yang terpisah.

Definisi kunci: Permutasi adalah cara menyusun sekumpulan objek dengan memperhatikan urutan. Setiap perubahan urutan menghasilkan susunan yang baru.

Contoh Permutasi Semua Unsur

Jika kita memiliki tiga unsur $a$, $b$, $c$, maka semua permutasi dari ketiga unsur tersebut adalah:

$abc,acb,bac,bca,cab,cba$

Total ada 6 susunan. Cara cepat menghitungnya adalah dengan faktorial. Jumlah permutasi dari $n$ unsur yang berbeda adalah $n!$ (dibaca "n faktorial").

$$3!=3\times 2\times 1=6$$

Untuk empat unsur $a,b,c,d$, semua permutasinya berjumlah:

$$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$$

Permutasi Sebagian Unsur

Dalam soal, seringkali kita tidak menyusun semua unsur, melainkan hanya mengambil sebagian. Misalnya, dari 3 orang (A, B, C) akan dipilih 2 orang untuk menjadi ketua dan sekretaris. Karena jabatan berbeda, urutan diperhatikan.

Semua kemungkinan susunannya adalah:

• AB (A ketua, B sekretaris)
• AC (A ketua, C sekretaris)
• BA (B ketua, A sekretaris)
• BC (B ketua, C sekretaris)
• CA (C ketua, A sekretaris)
• CB (C ketua, B sekretaris)

Total ada 6 susunan. Perhatikan bahwa AB dan BA dianggap berbeda.

Untuk 4 objek (A, B, C, D) diambil 2, susunannya menjadi 12, yaitu: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. Menulis satu per satu akan memakan waktu. Oleh karena itu, kita menggunakan rumus permutasi.

Rumus Umum Permutasi

Jika tersedia $n$ unsur dan akan diambil $r$ unsur ($r\le n$) dengan memperhatikan urutan, maka banyak permutasi dirumuskan sebagai:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Notasi lain yang sering ditemui: $P_r^n$, $nPr$, atau ${}_{\mathrm{n}}{\mathrm{P}}_{\mathrm{r}}$. Semua memiliki arti yang sama.

Contoh Penerapan Rumus

Contoh 1: Dari 4 objek diambil 2

$$P(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2!}=4\times 3=12$$

Hasilnya sama dengan pencacahan manual.

Contoh 2: Dari 10 calon pengurus OSIS

Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan yang mungkin?

Ketua, sekretaris, bendahara adalah tiga jabatan berbeda, sehingga urutan diperhatikan. Maka:

$$P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10\times 9\times 8=720$$

Cara menghitung: faktorial 10 dipecah hingga bertemu $7!$, sehingga $10\times 9\times 8$ langsung dikalikan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1: Lima shinobi menjadi Hokage, Raikage, dan Tsuchikage

Terdapat 5 orang shinobi. Akan dipilih 3 orang untuk menduduki jabatan Hokage, Raikage, dan Tsuchikage (urutan diperhatikan). Banyak cara memilihnya adalah …

$$P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2!}{2!}=5\times 4\times 3=60$$

Soal 2: Faiz dan 6 temannya jadi vokalis, gitaris, drummer

Diketahui Faiz dan enam orang temannya akan dipilih untuk menjadi vokalis, gitaris, dan drummer. Banyak cara memilihnya adalah …

Total orang = $1$ (Faiz) + $6$ = $7$ orang. Akan dipilih 3 orang dengan jabatan berbeda.

$$P(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=7\times 6\times 5=210$$

Soal 3: 9 calon dipilih 3 pengurus

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan pengurus yang mungkin adalah …

$$P(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=9\times 8\times 7=504$$

Soal 4: 7 finalis juara 1, 2, 3

Tujuh finalis lomba menyanyi akan ditetapkan sebagai juara 1, 2, dan 3. Banyak susunan gelar yang mungkin adalah …

$$P(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=7\times 6\times 5=210$$

Ringkasan dan Tips

• Permutasi digunakan ketika urutan diperhatikan. Ciri khasnya: jabatan berbeda (ketua, sekretaris), posisi berbeda (juara 1, 2, 3), atau susunan yang jika ditukar menghasilkan kejadian baru.
• Rumus utama: $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$.
• Untuk menghitung cepat, faktorial di pembilang diuraikan hingga bertemu faktorial penyebut, lalu coret. Sisanya adalah perkalian $n$ menurun sebanyak $r$ faktor.
• Contoh: $P(10,3)=10\times 9\times 8$, $P(7,2)=7\times 6$, dan seterusnya.

Dengan memahami konsep dan rumus permutasi, Anda dapat menyelesaikan soal-soal UTBK dengan cepat dan tepat. Selanjutnya, Anda akan mempelajari kombinasi, di mana urutan tidak lagi diperhatikan — perbedaan mendasar yang akan dibahas pada materi berikutnya.