Peluang Saling Lepas vs Saling Bebas di UTBK: Dua Konsep yang Sering Tertukar

Pengertian Singkat

Dalam peluang, saling lepas dan saling bebas menjelaskan dua hubungan kejadian yang berbeda.

• Saling lepas: dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan.
• Saling bebas: terjadinya satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lain.

Kekeliruan yang sering terjadi adalah menganggap kedua konsep tersebut sama-sama berarti “tidak berhubungan”. Padahal, saling lepas berkaitan dengan kemungkinan kejadian terjadi bersamaan, sedangkan saling bebas berkaitan dengan pengaruh satu kejadian terhadap kejadian lain.

Rumus dan Konsep

Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua kejadian.

1. Kejadian saling lepas

Kejadian $A$ dan $B$ saling lepas jika tidak ada hasil yang menjadi anggota keduanya.

$$A\cap B=\varnothing$$

Karena keduanya tidak mungkin terjadi bersamaan, maka:

$$P(A\cap B)=0$$

Untuk peluang gabungan:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Diagram sederhananya:

```text Ruang sampel S +--------------------------------+ | ( A ) ( B ) | | | +--------------------------------+

A dan B tidak beririsan. ```

Kata kunci: atau, dengan pilihan yang tidak mungkin muncul bersamaan.

2. Kejadian saling bebas

Kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika terjadinya $A$ tidak mengubah peluang $B$.

$$P(B\mid A)=P(B)$$

Bentuk perkaliannya:

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

Diagramnya dapat memiliki irisan karena kedua kejadian masih mungkin terjadi bersamaan:

```text Ruang sampel S +--------------------------------+ | ( A ) | | \____ | | ( B ) | +--------------------------------+

A dan B dapat beririsan. ```

Kata kunci: dan, terutama ketika percobaan tidak saling memengaruhi, seperti pelemparan koin dan dadu secara terpisah.

Perbedaan penting

| Aspek | Saling lepas | Saling bebas | |---|---|---| | Fokus | Kemungkinan terjadi bersamaan | Pengaruh satu kejadian terhadap kejadian lain | | Irisan | $A\cap B=\varnothing$ | Umumnya $A\cap B\ne \varnothing$ | | Operasi umum | Penjumlahan untuk “atau” | Perkalian untuk “dan” | | Contoh | Mendapat angka 2 atau 5 dalam satu lemparan dadu | Mendapat gambar pada koin dan angka genap pada dadu |

Catatan: dua kejadian yang saling lepas dan peluangnya positif tidak mungkin saling bebas. Jika $A$ terjadi, $B$ pasti tidak terjadi, sehingga peluang $B$ berubah.

Contoh 1: Saling Lepas

Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka 1 atau angka 6.

Misalkan:

• $A$: muncul angka 1, sehingga $P(A)=\frac{1}{6}$
• $B$: muncul angka 6, sehingga $P(B)=\frac{1}{6}$

Dalam satu lemparan, angka 1 dan angka 6 tidak dapat muncul bersamaan. Jadi, $A$ dan $B$ saling lepas.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

$$P(A\cup B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$

Kata kunci “atau” memang mengarah pada penjumlahan, tetapi penjumlahan langsung hanya tepat karena kedua kejadian saling lepas.

Contoh 2: Saling Bebas

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul sisi gambar pada koin dan angka genap pada dadu.

Misalkan:

• $A$: koin menunjukkan gambar, sehingga $P(A)=\frac{1}{2}$
• $B$: dadu menunjukkan angka genap, yaitu 2, 4, atau 6, sehingga $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Hasil koin tidak memengaruhi hasil dadu. Jadi, $A$ dan $B$ saling bebas.

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

$$P(A\cap B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Kata kunci “dan” menunjukkan bahwa kedua syarat harus terpenuhi sekaligus. Karena percobaannya bebas, peluang dikalikan.

Soal dan Pembahasan

Soal 1

Dalam sebuah kotak terdapat kartu bernomor 1 sampai 10. Satu kartu diambil secara acak. Berapa peluang kartu yang terambil bernomor ganjil atau kelipatan 5?

Pembahasan:

Misalkan:

• $A$: kartu bernomor ganjil, yaitu $\{1,3,5,7,9\}$
• $B$: kartu bernomor kelipatan 5, yaitu $\{5,10\}$

Kedua kejadian tidak saling lepas karena angka 5 termasuk dalam $A$ dan $B$.

Gunakan rumus peluang gabungan umum:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$P(A\cup B)=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}-\frac{1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

Jawaban: $\frac{3}{5}$.

Kesalahan umum adalah menjumlahkan $\frac{5}{10}$ dan $\frac{2}{10}$ tanpa mengurangi irisan angka 5.

Soal 2

Sebuah kartu diambil dari satu set kartu remi standar berisi 52 kartu, lalu sebuah dadu dilempar. Berapa peluang kartu yang terambil adalah hati dan dadu menunjukkan bilangan prima?

Pembahasan:

Peluang mendapat kartu hati:

$$P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$$

Bilangan prima pada dadu adalah 2, 3, dan 5, sehingga:

$$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Pengambilan kartu dan pelemparan dadu tidak saling memengaruhi. Maka keduanya saling bebas.

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

Jawaban: $\frac{1}{8}$.

Soal 3

Dua kejadian $A$ dan $B$ memenuhi $P(A)=0,4$, $P(B)=0,3$, dan $P(A\cap B)=0$. Tentukan $P(A\cup B)$ dan apakah kedua kejadian tersebut saling bebas.

Pembahasan:

Karena $P(A\cap B)=0$, kedua kejadian saling lepas. Jadi:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,4+0,3=0,7$$

Untuk menguji apakah keduanya saling bebas, bandingkan:

$$P(A)P(B)=0,4\times 0,3=0,12$$

Nilai ini tidak sama dengan $P(A\cap B)=0$. Jadi, $A$ dan $B$ tidak saling bebas.

Jawaban: $P(A\cup B)=0,7$ dan kedua kejadian tidak saling bebas.

Tips Ringkas

1. Tanyakan lebih dahulu: Apakah kedua kejadian mungkin terjadi bersamaan? Jika tidak, keduanya saling lepas.
2. Jika soal menggunakan “dan”, periksa apakah satu kejadian memengaruhi kejadian lain. Jika tidak, gunakan konsep saling bebas dan kalikan peluangnya.
3. Untuk “atau”, jangan langsung menjumlahkan. Gunakan:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Penjumlahan langsung hanya berlaku jika $A$ dan $B$ saling lepas.

1. Ingat kalimat pembeda: saling lepas berarti tidak bisa bersama; saling bebas berarti tidak saling memengaruhi.
2. Gambarkan dua lingkaran kejadian. Tidak beririsan mengarah ke saling lepas, sedangkan beririsan masih dapat berarti saling bebas jika syarat perkalian terpenuhi.