Peluang Bersyarat untuk UTBK: Cara Menghindari Jebakan Kata “Jika Diketahui”

Pengertian Singkat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian setelah kita memperoleh informasi tambahan. Informasi ini mempersempit ruang sampel, sehingga peluang harus dihitung berdasarkan kondisi baru, bukan seluruh kemungkinan awal.

Dalam soal UTBK, jebakan sering muncul melalui kata-kata seperti jika diketahui, dengan syarat, diketahui bahwa, atau di antara peserta yang. Kata-kata tersebut belum tentu selalu menandakan peluang bersyarat, tetapi perlu diperiksa: apakah informasi tambahan benar-benar membatasi kelompok yang sedang diamati?

Perbedaan dasarnya:

• Peluang biasa: peluang kejadian $A$ dihitung dari seluruh ruang sampel.
• Peluang bersyarat: peluang $A$ ketika kejadian $B$ sudah diketahui, ditulis $P(A\mid B)$.
• Peluang gabungan: peluang dua kejadian terjadi bersama, ditulis $P(A\cap B)$.

Rumus dan Konsep

Rumus peluang bersyarat adalah

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0$$

Maknanya: dari semua hasil yang memenuhi $B$, hitung bagian yang juga memenuhi $A$.

Bentuk lain yang sering berguna adalah

$$P(A\cap B)=P(B)\times P(A\mid B)$$

Namun, untuk soal kontekstual, cara berpikir berikut biasanya lebih aman daripada langsung menghafal rumus:

1. Tentukan kejadian yang ditanyakan.
2. Cari informasi tambahan yang sudah diketahui.
3. Jadikan informasi tambahan sebagai ruang sampel baru.
4. Hitung banyak hasil yang juga memenuhi kejadian yang ditanyakan.
5. Bandingkan hasil yang memenuhi kedua kondisi dengan seluruh hasil pada kondisi baru.

Contoh 1: Peluang bersyarat dari data peserta

Dalam sebuah kelas terdapat 20 siswa. Sebanyak 12 siswa mengikuti latihan matematika, dan 8 di antaranya juga mengikuti latihan bahasa Inggris. Jika diketahui seorang siswa mengikuti latihan matematika, berapa peluang siswa tersebut juga mengikuti latihan bahasa Inggris?

Misalkan:

• $M$: siswa mengikuti latihan matematika
• $B$: siswa mengikuti latihan bahasa Inggris

Karena sudah diketahui siswa tersebut termasuk kelompok $M$, ruang sampelnya bukan lagi 20 siswa, melainkan 12 siswa yang mengikuti latihan matematika. Dari 12 siswa itu, 8 juga mengikuti latihan bahasa Inggris.

$$P(B\mid M)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

Jadi, peluangnya adalah $\frac{2}{3}$.

Perhatikan bahwa jawaban bukan $\frac{8}{20}$. Nilai $\frac{8}{20}$ adalah peluang seorang siswa dipilih dari seluruh kelas dan mengikuti kedua latihan, yaitu peluang gabungan $P(M\cap B)$.

Contoh 2: Memilih kartu dengan informasi tambahan

Sebuah kotak berisi 5 kartu merah dan 3 kartu biru. Dua kartu diambil tanpa pengembalian. Jika diketahui kartu pertama yang terambil berwarna merah, berapa peluang kartu kedua juga berwarna merah?

Setelah kartu pertama diketahui merah, tersisa 4 kartu merah dan 3 kartu biru, sehingga total kartu tersisa adalah 7.

$$P(\text{kartu kedua merah}\mid \text{kartu pertama merah})=\frac{4}{7}$$

Jadi, peluangnya adalah $\frac{4}{7}$.

Informasi tentang kartu pertama mengubah ruang sampel untuk pengambilan kedua. Inilah ciri utama peluang bersyarat.

Latihan dan Pembahasan

Soal 1

Dari 30 peserta tryout, 18 peserta memperoleh nilai minimal 70 pada bagian penalaran matematika. Dari 18 peserta tersebut, 12 juga memperoleh nilai minimal 70 pada bagian membaca. Jika dipilih seorang peserta yang memperoleh nilai minimal 70 pada penalaran matematika, berapa peluang ia juga memperoleh nilai minimal 70 pada membaca?

Pembahasan:

Kelompok yang menjadi ruang sampel adalah 18 peserta yang memenuhi syarat nilai penalaran matematika. Di dalamnya terdapat 12 peserta yang juga memenuhi syarat nilai membaca.

$$P(\text{membaca}\mid \text{penalaran matematika})=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$$

Jawaban: $\frac{2}{3}$.

Soal 2

Sebuah dadu bersisi enam dilempar satu kali. Berapa peluang muncul bilangan genap jika diketahui hasil lemparan lebih besar dari 3?

Pembahasan:

Hasil yang lebih besar dari 3 adalah $\{4,5,6\}$. Inilah ruang sampel baru. Dari ketiga hasil tersebut, bilangan genap adalah 4 dan 6.

$$P(\text{genap}\mid \text{lebih besar dari 3})=\frac{2}{3}$$

Jawaban: $\frac{2}{3}$.

Soal 3

Dalam sebuah kelompok terdapat 10 siswa laki-laki dan 15 siswa perempuan. Sebanyak 4 siswa laki-laki dan 6 siswa perempuan mengikuti klub sains. Jika seorang siswa dipilih secara acak dari seluruh kelompok, berapa peluang siswa tersebut perempuan dan mengikuti klub sains?

Pembahasan:

Kata dan menunjukkan dua kondisi harus terjadi bersama. Jadi, yang dihitung adalah peluang gabungan, bukan peluang bersyarat.

Jumlah siswa perempuan yang mengikuti klub sains adalah 6, sedangkan jumlah seluruh siswa adalah $10+15=25$.

$$P(\text{perempuan}\cap \text{klub sains})=\frac{6}{25}$$

Jawaban: $\frac{6}{25}$.

Jika soalnya diubah menjadi “Jika diketahui siswa yang dipilih adalah perempuan, berapa peluang ia mengikuti klub sains?”, penyebutnya berubah menjadi 15 dan jawabannya menjadi $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.

Tips Ringkas

• Lingkari informasi setelah kata jika diketahui, dengan syarat, atau di antara.
• Tanyakan: “Setelah informasi ini diketahui, siapa saja yang masih mungkin terpilih?” Kelompok itulah penyebutnya.
• Kata dan biasanya mengarah pada kejadian gabungan, sedangkan jika diketahui biasanya mengubah ruang sampel.
• Jangan langsung memakai jumlah seluruh objek jika soal sudah memberikan kondisi tambahan.
• Buat tabel dua arah jika data terdiri atas dua kategori, misalnya jenis kelamin dan hasil ujian.
• Periksa kewajaran jawaban: peluang bersyarat harus berada antara 0 dan 1, dan penyebutnya harus mewakili kelompok yang sudah dibatasi oleh informasi soal.