Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers UTBK: Bedakan Urutan Operasi dan Syarat Balikannya

Pengertian Singkat

Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan. Jika keluaran fungsi pertama menjadi masukan fungsi kedua, kita menuliskannya sebagai $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

Fungsi invers adalah fungsi yang membalik proses suatu fungsi. Jika $f(a)=b$, maka $f^{-1}(b)=a$. Namun, tidak setiap fungsi memiliki invers yang juga merupakan fungsi. Syarat utamanya adalah fungsi tersebut harus satu-satu pada domain yang digunakan.

Dalam soal UTBK, kesalahan sering terjadi karena urutan $f\circ g$ dianggap sama dengan $g\circ f$, atau karena peserta langsung menukar $x$ dan $y$ tanpa memeriksa apakah fungsi memiliki invers.

Rumus dan Konsep

1. Fungsi komposisi

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Kerjakan fungsi yang paling dekat dengan $x$ terlebih dahulu, yaitu $g(x)$, lalu masukkan hasilnya ke $f$.

Sebaliknya,

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

Secara umum,

$$f(g(x))\ne g(f(x))$$

2. Fungsi invers aljabar

Untuk menentukan invers dari $y=f(x)$:

1. Tulis $y=f(x)$.
2. Tukarkan posisi $x$ dan $y$.
3. Selesaikan persamaan terhadap $y$.
4. Tulis hasilnya sebagai $f^{-1}(x)$.
5. Periksa domain dan range jika diperlukan.

Hubungan pentingnya adalah

$$f(f^{-1}(x))=x\text{dan}{f}^{-1}(f(x))=x$$

3. Syarat fungsi memiliki invers

Fungsi harus satu-satu: dua input berbeda tidak boleh menghasilkan output yang sama. Secara grafik, fungsi satu-satu memenuhi uji garis horizontal: setiap garis horizontal memotong grafik paling banyak satu kali.

Untuk fungsi kuadrat seperti $f(x)=x^2$, invers tidak menjadi fungsi jika domainnya seluruh bilangan real karena $f(2)=f(-2)=4$. Namun, jika domain dibatasi menjadi $x\ge 0$, fungsi tersebut satu-satu dan memiliki invers $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

4. Membaca dari tabel dan grafik

Dari tabel, fungsi memiliki invers jika setiap nilai keluaran muncul paling banyak satu kali. Untuk mencari $f^{-1}(a)$, cari baris atau pasangan yang menghasilkan $a$, lalu ambil inputnya.

Dari grafik, grafik fungsi invers diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi terhadap garis $y=x$. Titik $(a,b)$ pada grafik $f$ berubah menjadi $(b,a)$ pada grafik $f^{-1}$.

Contoh 1: Membedakan Urutan Komposisi

Diberikan $f(x)=2x+1$ dan $g(x)=x^2-3$. Tentukan $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$.

Penyelesaian:

Untuk komposisi pertama,

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Untuk komposisi kedua,

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=(2x+1{)}^2-3$$

$$=4x^2+4x+1-3=4x^2+4x-2$$

Jadi, hasilnya berbeda. Kunci pengerjaannya adalah membaca komposisi dari kanan ke kiri: pada $f\circ g$, fungsi $g$ dikerjakan lebih dahulu.

Contoh 2: Menentukan Invers dari Tabel

Perhatikan tabel berikut.

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---:|---:|---:|---:| | $f(x)$ | 5 | 7 | 9 | 11 |

Tentukan $f^{-1}(9)$ dan jelaskan apakah fungsi memiliki invers pada domain tersebut.

Penyelesaian:

Nilai $f(x)=9$ terjadi saat $x=3$. Oleh karena itu,

$$f^{-1}(9)=3$$

Semua nilai keluaran pada tabel, yaitu $5,7,9,11$, berbeda. Jadi, fungsi tersebut satu-satu pada domain yang diberikan dan memiliki invers.

Pasangan pada fungsi invers dapat ditulis sebagai $(5,1),(7,2),(9,3),(11,4)$.

Soal dan Pembahasan

Soal 1

Diketahui $f(x)=3x-2$ dan $g(x)=\frac{x+2}{3}$. Tentukan $(f\circ g)(x)$.

Pembahasan:

$$(f\circ g)(x)=f\left(\frac{x+2}{3}\right)$$

$$=3\left(\frac{x+2}{3}\right)-2=x+2-2=x$$

Jadi, $(f\circ g)(x)=x$. Ini menunjukkan bahwa $g$ merupakan invers dari $f$, sehingga $g=f^{-1}$.

Soal 2

Diberikan $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, dengan $x\ne -3$. Tentukan $f^{-1}(x)$.

Pembahasan:

Misalkan

$$y=\frac{2x-1}{x+3}$$

Tukarkan $x$ dan $y$:

$$x=\frac{2y-1}{y+3}$$

Kalikan silang:

$$x(y+3)=2y-1$$

$$xy+3x=2y-1$$

$$y(x-2)=-1-3x$$

$$y=\frac{-1-3x}{x-2}=\frac{3x+1}{2-x}$$

Jadi,

$$f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x},x\ne 2$$

Nilai $x\ne 2$ pada invers merupakan batasan domain invers, karena $2$ tidak termasuk range fungsi awal.

Soal 3

Sebuah fungsi memiliki pasangan titik $(1,4),(2,5),(3,4),(4,6)$. Apakah fungsi tersebut memiliki invers yang juga merupakan fungsi?

Pembahasan:

Tidak. Output $4$ berasal dari dua input berbeda, yaitu $1$ dan $3$. Dengan demikian, fungsi tidak satu-satu. Jika dibalik, nilai $4$ akan memiliki dua pasangan, yaitu $1$ dan $3$, sehingga hasil pembalikan bukan fungsi.

Tips Ringkas

• Baca $f\circ g$ sebagai “kerjakan $g$ dahulu, lalu $f$”.
• Jika ragu, tulis langsung $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ sebelum menyederhanakan.
• Untuk tabel, cek apakah ada output yang berulang.
• Untuk grafik, gunakan uji garis horizontal untuk memeriksa fungsi satu-satu.
• Saat mencari invers aljabar, tukarkan $x$ dan $y$, lalu periksa pembatasan domain serta range.
• Uji jawaban dengan komposisi: jika benar, $f(f^{-1}(x))$ atau $f^{-1}(f(x))$ harus menghasilkan $x$ pada domain yang sesuai.